Urodził się w 1888 roku w Dąbrowie. Święcenia kapłańskie przyjął w 1912 roku w Krakowie. W 1931 roku został proboszczem w Libiążu. Przyczynił się do budowy domu starców, domu parafialnego w Libiążu i kaplicy w Dąbiu. W okresie wojny współpracował z Armią Krajową.

Po wojnie, w nocy z 6 na 7 września 1946 roku został zastrzelony na swojej plebanii. Mordu dokonało trzech funkcjonariuszy Urzędu Bezpieczeństwa. W czasie napadu ksiądz wezwał na pomoc sąsiadów, ale został uciszony serią z pistoletu maszynowego. Zmarł po kilku godzinach w szpitalu w Chrzanowie.

W pogrzebie ks. Franciszka Flasińskiego wzięło udział około dziesięć tysięcy wiernych. Kapłan spoczywa na cmentarzu w Libiążu. Jedna z ulic w mieście nosi jego imię.

Czterdzieści lat po śmierci z inicjatywy księdza Stanisława Marchewki została wmurowana w kościele Przemienienia Pańskiego pamiątkowa tablica ku czci kapłana-męczennika.